数学与统计基础 on 云栖

概率论基础：从掷骰子到收益分布

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

概率论在量化里不是「基础知识」，而是日常语言：每一笔交易都是在一个随机变量的实现上下注。本篇把最核心的四个概念——期望、方差、协方差、条件概率——逐一翻译成交易操作，并解释两个在策略评估中无处不在的定理（大数定律、中心极限定理）以及一个经常被违反的假设（正态分布）。

随机变量与期望：你的策略有正的数学期望吗

把未来一天的策略收益率记作随机变量 r。期望 E[r] 是长期平均意义上的单次下注价值。任何交易决策的第一问都该是：E[r] > 0 吗？——而且要扣除成本：

E[净收益] = 胜率 × 平均盈利 − (1 − 胜率) × 平均亏损 − 成本

一个胜率 60%、平均赚 1%、平均亏 1.5%、双边成本 0.3% 的日频策略：0.6×1% − 0.4×1.5% − 0.3% = −0.3%。胜率过半仍然亏钱——胜率本身毫无意义，期望才有意义。趋势跟踪策略胜率常低于 40% 却长期盈利，靠的是盈亏比拉高期望。

期望的线性性 E[a·r₁ + b·r₂] = a·E[r₁] + b·E[r₂] 不要求独立性——这是组合收益期望可以直接逐项相加的原因。

方差与波动率：风险不是一个数，是你对均值的偏离

方差 Var[r] = E[(r − E[r])²] 度量收益围绕均值的分散程度，标准差 σ（波动率）是其平方根。交易中的三个直接用法：

年化换算：日波动率 ×√252。日波动 1% 的策略年化约 15.9%；
夏普比率：Sharpe = E[r] / σ（无风险利率取 0 的相对口径），每承担一单位波动换来多少收益；
仓位换算：目标波动率倒推仓位——想让组合年化波动控制在 10%，而标的年化波动 25%，则仓位 ≈ 10/25 = 40%（见仓位 sizing ）。

注意方差对平方敏感：大亏一天对方差贡献超过十个小赚日，这正是它比「平均亏损」更贴近风险本质的原因。

协方差与相关：分散化为什么有效

协方差 Cov[r₁,r₂] = E[(r₁−μ₁)(r₂−μ₂)] 度量两个资产如何共动；除以两个标准差得到相关系数 ρ ∈ [−1,1]。两资产组合方差：

Var(w₁r₁ + w₂r₂) = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂ρ₁₂σ₁σ₂

只要 ρ₁₂ < 1，组合方差就小于成分方差的加权平均——这就是分散化的数学本质。银行股与券商股 ρ 高达 0.8+，分散有限；股票与国债 ρ ≈ −0.3，才是真正的对冲。推广到 N 个资产就是协方差矩阵 Σ，它是组合优化的核心输入（见协方差矩阵与 PCA ）。

常见分布：正态是好仆人、坏主人

分布	量化场景	关键提醒
正态 N(μ,σ²)	收益率的一阶近似、风险模型的默认假设	现实收益肥尾且偏斜
t 分布	收益率拟合（自由度 3–6 常见）	尾部比正态厚，更贴近极端行情频率
二项分布	n 天里上涨天数	胜率检验的原材料
泊松分布	极端事件/跳空计数、限价单成交次数	稀有事件建模
对数正态	价格（非收益）的分布假设	价格非负；GBM 定价的底层假设
卡方分布	方差检验、协方差检验统计量	风险模型回溯测试

肥尾的现实含义：正态假设下，标普 500 单日 −20% 以上约为「宇宙年龄才会见一次」的事件，而 1987 年真实发生过；2020 年 4 月 WTI 原油甚至收出 −37 美元。用正态算 VaR 会系统性低估尾部（解决路线见风险度量：历史模拟、t 分布、极值理论）。A 股还有截断效应：±10% 涨跌停把尾部硬切掉，日收益分布在边界处堆积——回测与风控都不能假装它不存在。

大数定律与中心极限定理：为什么「次数」比「预测」可靠

大数定律（LLM）：独立同分布下，样本均值随次数增加收敛到期望。交易含义：正期望的策略必须靠足够的重复次数把优势兑现。一个 55% 胜率的系统，100 笔样本里亏损的概率仍然可观，10000 笔里亏损概率趋近于零——这是「小资金高频验证、验证后再放大」的数学依据，也是「用三个月回测判断十年策略」不可靠的原因（样本不足以让 LLN 发挥）。

中心极限定理（CLT）：独立同分布随机变量之和（标准化后）趋近正态——无论单期收益长什么样。这就是为什么：日收益肥尾，但月/季收益（多日加总）更接近正态；IC 序列的 t 检验 t = mean(IC)/std(IC) × √T 有意义；夏普比率的显著性检验 t ≈ Sharpe × √T 成立（见假设检验）。同时注意 CLT 的边界：收益不完全独立（波动聚集、自相关），收敛速度在尾部很慢——对「厚尾+t 小样本」，谨慎对待基于正态的显著性结论。

条件概率与贝叶斯思维：策略信念的持续更新

条件概率 P(A|B) = P(A∩B)/P(B) 的交易化：不是问「股票明天上涨的概率」，而是问「在放量突破的条件下，明天上涨的概率」——所有因子本质上都是条件概率的压缩表达。

贝叶斯公式把「先验信念 + 新证据 → 后验信念」形式化：

P(H|D) ∝ P(D|H) × P(H)

策略研究中的三处直接应用：

因子有效性是信念不是事实：回测前对「动量在 A 股有效」赋一个不高不低的先验，回测证据（似然）将其更新为后验——单次回测的 5% 显著性不应把信念推到 95% 确定，因为「因子普遍无效」的先验概率并不低；
调参的贝叶斯优化：把「参数→绩效」视为黑盒函数，用后验分布引导下一步采样，比网格搜索省一个数量级的算力（见AutoML 与因子挖掘）；
Black-Litterman 的灵魂：把市场均衡权重当先验、观点当似然、观点置信度控制更新幅度——整个模型就是一次贝叶斯更新（见Black-Litterman ）。

贝叶斯思维的最大礼物是允许自己被打脸：先验可以错，只要更新机制诚实，长期仍会收敛到真相——这恰恰是「圣杯思维」的反面。

关联阅读：统计推断把本篇的 CLT 变成可操作的检验工具；蒙特卡洛模拟用随机采样代替解析推导；随机过程把概率升级为随时间演化的模型。

统计推断：假设检验、回归与多重检验

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

统计推断回答一个量化每天都要面对的问题：**观测到的规律，是巧合的概率有多大？**本篇以「检验一个选股因子是否有效」为主线，把假设检验、回归分析与多重检验串成一条完整的研究流水线。

假设检验：你的因子是真的吗

以月度 IC（因子值与下月收益的横截面相关系数）为例：算出 60 个月的 IC 序列，均值 0.035、标准差 0.12。要回答「均值显著非零吗」：

原假设 H₀：真实 IC = 0（因子无效）；备择假设 H₁：真实 IC > 0；
检验统计量：t = mean(IC) / std(IC) × √T = 0.035/0.12 × √60 ≈ 2.26；
5% 显著性水平下单边临界值 1.645，t = 2.26 越过临界线 → 拒绝 H₀。

对 p 值的正确理解只有一句话：在「因子无效」的世界里，观测到这么强（或更强）的 IC 序列的概率。它不是「因子有效的概率」——后者是贝叶斯后验，需要先验才能计算（见概率论基础）。三个高频误用：p = 0.049 与 0.051 没有本质差别；p 值小不等于效应大（IC 0.02 在超长样本下也「显著」）；显著不等于可交易（还要看容量与成本，见因子检验）。

置信区间是同一枚硬币的反面：IC 均值的 95% 置信区间 ≈ 0.035 ± 1.96 × 0.12/√60 = [0.005, 0.065]。区间下限 0.005 才是风控视角最该盯的数字——最坏情形下因子可能只值这么点，而 0.005 的 IC 在扣完成本后很可能不够。

夏普比率的显著性同构：t ≈ Sharpe × √年数。夏普 1.5 的策略要 2 年以上样本才在 5% 水平显著（1.5×√2≈2.12）——这就是为什么「跑三个月回测就宣布策略有效」在统计上站不住。

多重检验：回测了 1000 个因子之后

致命场景：你检验 1000 个纯噪声因子，5% 显著性意味着期望约 50 个会「显著」。如果你只汇报这 50 个——这不是发现，是数据挖掘的必然产物。学术论文的因子动物园（数百个声称显著的因子）与此直接相关。

三道防线：

Bonferroni 校正：显著性阈值除以检验次数（0.05/1000 = 0.00005）。极保守，适合「一个都不想错杀」的场景；
Benjamini-Hochberg（FDR 控制）：控制错误发现率——在所有被拒绝的原假设中，假阳性比例的期望 ≤ q（如 10%）。做法：把 p 值排序，找最大的 k 使 p(k) ≤ k/N × q。研究性场景的标准选择；
样本外验证：把数据锁进保险柜，留到最后开一次（见样本内外与 Walk-Forward ）。这是唯一对「研究者自由度」完全免疫的防线。

老手纪律：记录全部尝试次数。检验报告里写「本假设来自第 37 次尝试」，比任何精致的 p 值都更有信息量。

回归分析：从 OLS 到 Lasso

OLS（普通最小二乘）：r = α + β₁f₁ + β₂f₂ + ε，求使残差平方和最小的系数。量化中的两大地盘：

因子中性化：把因子值对行业哑变量 + 对数市值回归，取残差作为「纯净」因子（见因子构建）；
收益归因：把组合收益回归到风格因子暴露上，看 α 还剩多少（见绩效归因）。

OLS 的关键假设与破绽：残差与解释变量无关（内生性破坏 → 遗漏变量偏误）；残差同方差、无自相关（金融时序几乎必然违反 → 用 Newey-West 修正标准误，否则 t 值虚高）；多重共线性（价值因子与盈利因子相关性 0.7+ → 系数大幅漂移、不可解释）。

岭回归（Ridge）：在损失函数中加 λΣβ² 惩罚，把系数向零收缩。治疗多重共线性：20 个相关性很高的风格因子同时进入收益预测时，OLS 系数会在样本间剧烈摆动，岭回归给出稳定但略保守的权重——预测场景里，稳定性比无偏更重要。

Lasso：惩罚改用 λΣ|β|，能把一部分系数精确压到零——自带「选因子」功能。场景：从 200 个候选因子中挑出 15 个进入正式模型。注意两个坑：被选中的因子不等于「更有效」（相关因子组里 Lasso 常只留一个，选择带随机性）；λ 要用时间序列交叉验证（前 K 年训练、后 1 年验证）而不是随机 K 折——时间序列随机打乱等于泄漏未来。

平稳性与单位根：为什么不能对价格直接回归

平稳性：序列的均值、方差、自相关结构不随时间变化。金融价格的残酷事实：价格几乎必然非平稳（有趋势、方差随水平放大）。在非平稳序列之间做回归会得到伪回归（spurious regression）——两个毫不相关的随机游走，R² 可以轻松超过 0.9，t 值显著——因为它们都随时间漂移，回归「解释」的只是共同的时间趋势。

实操守则：

对收益率建模，不对价格。收益（差分/对数差分）通常接近平稳；价格永不停歇地漂移；
单位根检验（ADF）：原假设「存在单位根（非平稳）」。p < 0.05 → 拒绝 → 视为平稳。对每个进入模型的价格类序列先过一遍；
例外是协整：两个各自非平稳的价格，其线性组合可能平稳——这正是配对交易的数学地基（OLS 残差的 ADF 检验，见均值回复与协整）。

一个新手常犯的变体：用「股价 vs GDP」直接回归得到「GDP 解释股价 80%」——两个都在长期上涨的序列，几乎任何组合都能回归出高 R²。先差分、再回归，结论往往面目全非，而那才是真相。

关联阅读：概率论基础是本篇的概率地基；线性代数处理回归的矩阵视角与共线性；Alpha 研究流程把本篇的检验纪律工程化。

线性代数：组合的语言

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

线性代数是量化中「性价比较高」的数学分支：概念少、复用率高。本篇只讲三类对象——向量、矩阵、特征值——以及它们各自在交易中的唯一化身。

向量：权重、收益与暴露

权重向量 w = (w₁,…,w_N)：一行代码就是你的全部仓位；收益向量 r：各标的下一期收益。组合收益就是内积：

r_p = wᵀr = Σ wᵢrᵢ

这个紧凑的记号背后是一整套纪律：wᵀ1 = 1 是预算约束（满仓）、wᵢ ≥ 0 是禁止做空、|w − w₀|₁ ≤ c 是换手约束——组合优化的全部输入输出都是向量运算。

因子暴露向量同理：一只股票的（PE、动量、波动率）取值构成向量，组合暴露 = 权重的加权平均 wᵀF。风控日报里的「组合动量暴露 +0.25」就是这么算出来的（见因子暴露监控）。

矩阵：把 T 天 × N 只股票装进一个对象

收益矩阵 R（T×N）：每行一天、每列一只股票。量化数据的默认形态，Pandas DataFrame 就是它的工程化身。

协方差矩阵 Σ：Σ = (1/T)·R̃ᵀR̃（R̃ 为去均值收益）。它是风险的完整地图——对角线是各资产方差，非对角线是共动性。组合方差 σ_p² = wᵀΣw 是全篇最重要的公式：风险不是方差的加权和，还有交叉项 2wᵢwⱼσᵢⱼ，而组合管理的全部艺术都藏在交叉项里。

特征值：风险的自然坐标系

协方差矩阵的特征分解 Σ = VΛVᵀ 把 N 个相关资产「旋转」到 N 个互不相关的方向上：

最大特征值 λ₁ 对应的方向通常是「市场整体」——A 股全市场协方差矩阵的第一主成分解释约 30%–45% 的总方差（牛市里更高）。它的特征向量近似等权所有股票；
后续特征值对应行业、风格等系统性方向；尾部小特征值对应个股特异性风险；
特征值之和 = 总方差（迹不变）：PCA 只是换坐标系度量风险，不创造也不消灭风险。

PCA 的三个交易化身：

风险模型的骨架：把收益率对前 K 个主成分回归，得到「市场 + 行业 + 风格」的系统性风险分解，残余即特质波动（Barra 式风险模型的底层思路）；
统计套利的中性化：配对/篮子套利前，把目标股票收益对前几个主成分回归取残差——先剥离市场与行业的系统性波动，剩下的价差才敢假设会回归（见统计套利）；
利率曲线的形状语言：国债收益率曲线变动的第一、二、三主成分，实证上稳定对应「水平、斜率、曲率」——管理债券组合的久期/凸性暴露时，实际是在管理这三个方向的坐标（见固定收益）。

相关系数矩阵把 Σ 标准化后更利于比较：危机时相关性集体升向 1（「相关性崩溃」），分散化在最需要时失效——特征值视角下，λ₁ 的占比在危机中急剧上升（见组合风险）。

数值稳定性：协方差矩阵的三种病与三种药

矩阵问题不处理，组合优化会在最想不到的时刻给出荒谬结果：

病一：N > T（资产多于样本）。1000 只股票、250 天样本——样本协方差矩阵秩亏（秩 ≤ 249），奇异且不可逆。均值-方差优化需要求逆 Σ⁻¹，奇异的 Σ 让优化器输出极端多空对冲的「数学幻觉组合」（如 +800% 做多某股、−790% 做空另一只）。这是量化史上无数「回测夏普 10」的技术根源之一。

病二：病态（条件数过大）。最大/最小特征值之比巨大——方向间风险差异悬殊，求逆把微小估计误差放大千百倍。诊断：cond(Σ) = λ_max/λ_min，超过 10⁴ 就要警惕。

病三：非正定。用逐对可得性不同的样本算出的 Σ（财报缺失导致），可能连半正定都不满足，Cholesky 分解直接报错。

三种药：

收缩估计（shrinkage）：Σ_shrunk = δ·F + (1−δ)·S，把样本协方差 S 向结构化目标（单因子模型、常数相关）收缩。Ledoit-Wolf 方法自动选 δ——用一点偏差换巨大的方差下降，实务标配；
因子模型替代样本估计：Σ = B Σ_f Bᵀ + D（因子协方差 + 特异方差），参数量从 O(N²) 降到 O(NK)，天然正定（Barra 风险模型的核心，见组合风险监控）；
正则化与约束：岭回归的 λ 本质是给 Σ 对角线加载荷；组合优化里加权重上下限，直接掐灭极端解（见约束优化）。

Cholesky 分解 Σ = LLᵀ 的实用场景：蒙特卡洛模拟相关资产路径时，用 L·z（z 为独立标准正态向量）一步生成具有目标相关结构的随机向量——期权组合压力测试的入口（见蒙特卡洛模拟）。

关联阅读：微积分与优化在 wᵀΣw 之上加约束求解；MPT 与均值-方差优化是线性代数最著名的应用；利率曲线主成分的实盘细节见固定收益。

微积分与优化：凸性、约束与迭代

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

优化是「把想法变成仓位」的最后一步数学：因子给出信号，优化器给出权重。本篇回答三个实务问题——什么问题能被可靠求解（凸性）、约束怎么进入数学（拉格朗日）、大模型怎么训练（迭代法）。

凸优化：为什么「局部最优 = 全局最优」是奢侈品

凸集：集合内任两点的连线仍在集合内。凸函数：任两点间的函数值不超过连线值（碗形）。凸优化问题 = 在凸集上最小化凸函数，它的奢侈之处：

任何局部最优解就是全局最优解——不会陷入「次优仓位」；
求解可靠且高效（内点法多项式时间），工程上敢于自动化。

均值-方差问题天生是凸的：目标 wᵀΣw 是凸函数（只要 Σ 半正定，见线性代数），预算约束 wᵀ1 = 1 是仿射集。所以组合优化器才敢无人值守地每天跑。反例要警惕：一旦引入交易成本的非凸近似（固定成本跳变）、整数约束（股票要么不买要么买够一手）、或目标里出现比率（如最大化夏普的朴素写法），凸性破坏，解的可靠性骤降。

非凸问题的两个出路（各举一例）：

凸化改写：最大化夏普比率 μᵀw/√(wᵀΣw) 本身非凸，但在标准假设下可改写为等价的二次规划（Schaible 变换）——工程上求解的是等价的凸问题；
接受非凸 + 验证解的稳定性：整数约束（最小交易手数）下用启发式求解，然后从多个随机起点重跑——解的分散度小才可信；若不同起点给出差异巨大的「最优组合」，说明问题本身病态，输出不可用。

凸性的交易直觉：分散化本身就是凸性的体现——「一半 A + 一半 B」的风险不高于两者的平均。凹的效用（风险厌恶）与凸的风险度量相遇，才有「最优组合」唯一存在。

拉格朗日乘子：约束的价格

最小方差组合问题：

min wᵀΣw s.t. wᵀ1 = 1

构造拉格朗日函数 L = wᵀΣw − λ(wᵀ1 − 1)，对 w 求导置零得 2Σw = λ·1，解出 w = (λ/2)·Σ⁻¹1，再由预算约束定出 λ——这就是「等风险贡献」思路的起点（见风险平价）。

乘子 λ 的经济含义是「影子价格」：约束放松一单位，目标值改善多少。在带风险预算的收益最大化问题里，λ 就是「每多容忍一单位方差，能多买多少期望收益」——它把「风控官与基金经理的谈判」变成了一个数字。同理：换手约束的乘子 = 多给一次换手自由度值多少 alpha；行业中性约束的乘子 = 放弃行业择时的机会成本。看乘子的大小，就知道哪条约束真正在束缚组合——实务中优化器输出被拒时，先看乘子再放松约束，比盲目放开更科学（乘子报表的季度评审见约束优化）。

不等式约束（如 wᵢ ≥ 0 禁止做空）通过 KKT 条件进入：每个触碰边界的约束都有一个非负乘子，不触碰的约束乘子为零——「约束不痛，就没有价格」。

梯度下降与牛顿法：机器学习的发动机

梯度下降：θ ← θ − η·∇L(θ)，沿负梯度方向小步走。深度学习几乎全靠它（及其变体 Adam）。量化用途：

神经网络收益预测的训练（见深度学习量化）——百万参数只能迭代求解；
逻辑回归涨跌分类器：损失是凸的交叉熵，梯度下降稳定收敛（见监督学习）；
学习率 η 的直觉：太大在山谷两侧震荡（参数在样本内外绩效间反复横跳），太小训练太慢（研究周期拉长），早停（early stopping）本身就是正则化。

牛顿法：用二阶信息（曲率）一步到位：θ ← θ − H⁻¹∇L。二次目标一步收敛。代价是 Hessian 求逆 O(n²) 存储 / O(n³) 计算——参数上百就只能用拟牛顿（BFGS/L-BFGS）。量化用途：

GARCH 参数估计（极大似然）：参数只有 3–5 个，牛顿族方法快速且精确；
逻辑回归/Probit 的标准解法：小参数量下比梯度下降更快更稳。

一阶 vs 二阶的选择逻辑一句话：参数多、目标粗糙（带噪声）→ 一阶；参数少、目标光滑 → 二阶。这与「深度学习用 SGD、GARCH 用 BFGS」的行业现状完全对应。

两个实务警告：

优化器不是越强越好。金融输入（μ、Σ）本身带巨大估计误差，「精确求解一个错误的问题」不如「近似求解一个稳健化的问题」——收缩 Σ、限制换手、限制权重上限，都是在用约束买稳健（见约束优化）；
收敛≠正确。优化器收敛到的是目标函数的最优，而目标函数（如历史均值最大化的夏普）可能本身就是过拟合的放大器——先审目标，再谈求解。

关联阅读：MPT 与均值-方差是本篇数学的历史起点；组合约束是拉格朗日思想的工程目录；强化学习用另一类优化（策略梯度）直接优化交易行为。

随机过程：从随机游走到协整

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

如果说明白概率论让你能「评估一次下注」，随机过程则让你能「评估一条路径」：价格如何随时间演化、波动如何聚集、价差会不会回来。本篇四个工具在量化里的化身分别是：期权定价、市场状态识别、波动率预测与配对交易。

布朗运动与随机游走：市场不可预测的数学原型

随机游走假说：明天的价格 = 今天价格 + 一个不可预测的随机冲击。其连续时间版本是布朗运动 B(t)：增量独立、增量服从正态、路径连续但处处不可微。

对股价最常用的近似是几何布朗运动（GBM）：dS = μS·dt + σS·dB——收益率（而非价格）服从随机游走。三个直接推论：

时间缩放 √t：波动率随持有期的平方根增长——月波动 ≈ 日波动 ×√21。风险预算跨周期换算全靠它；
期权定价的地基：Black-Scholes 公式就是在 GBM 假设 + 无套利下推导的（见衍生品）；蒙特卡洛模拟的第一课就是生成 GBM 路径（见蒙特卡洛）；
有效市场的参照系：完全随机游走意味着技术分析无利可图。实证上价格接近但不等于随机游走——动量、均值回复等微小偏离，正是量化策略试图收割的对象（见有效市场假说）。量化的自我定位应该是：在随机游走的背景噪声里，寻找并验证统计上站得住的微小偏离。

马尔可夫链：给市场装一个状态机

马尔可夫性：未来只依赖当前状态，不依赖历史路径。把市场离散成状态（如「低波动牛市 / 高波动熊市 / 震荡市」），估计转移矩阵 P（P[i][j] = 从状态 i 下一期到状态 j 的概率），就得到一个可计算的市场模型：

状态驻留时间：牛市平均能持续多久？= 1/(1 − P[牛→牛])。若 P[牛→牛] = 0.95，平均驻留 20 个月；
长期平稳分布：不管从哪里出发，长期落在各状态的比例收敛——用于评估策略在不同 regime 的暴露配比；
策略切换的开关：趋势策略在「趋势状态」开、均值回复策略在「震荡状态」开——用转移概率而非肉眼判断切换（工程化见策略组合与 Meta-Strategy ）。

连续状态的升级版是隐马尔可夫模型（HMM）：状态（regime）本身观测不到，只能通过收益/波动的分布「感觉到」——HMM 识别 regime 是量化私募的常见配置（见聚类与 Regime 识别）。注意马尔可夫性是个假设：现实市场有长期记忆（波动聚集、动量），用它时要靠扩状态（把「上一期波动」也纳入状态）来逼近。

GARCH：波动率是可预测的

收益几乎不可预测，但波动率可以——波动聚集（大波动跟着大波动）是金融数据最稳定的经验规律之一。GARCH(1,1) 把它写成：

σ²ₜ = ω + α·ε²ₜ₋₁ + β·σ²ₜ₋₁

昨日收益冲击（ε²）与昨日波动预测各按权重汇入今日波动。参数含义与典型量级（日频）：α ≈ 0.05–0.15（新冲击的即时影响）、β ≈ 0.85–0.94（惯性的持久度）、α+β < 1（平稳性）；α+β 越接近 1，波动冲击消退越慢（半衰期 ≈ ln(0.5)/ln(α+β)）。

交易中的三个化身：

波动率择时与目标波动：用 GARCH 预测下期波动，动态调整仓位维持组合波动恒定（vol targeting）——CTA 与风险平价的标准配件（见时序策略）；
风控输入：VaR 的 σ 不用静态历史值而用 GARCH 预测，能立刻反映市场紧张度的变化（见风险度量）；
期权定价与对冲：BS 公式的 σ 输入用 GARCH 预测而非历史平均，更贴近隐含波动的变化（见期权与波动率策略）。

均值回复与协整：配对交易的数学地基

均值回复：价格偏离「锚」后有回到锚的倾向。数学化是 OU 过程（Ornstein-Uhlenbeck）：dx = θ(μ − x)dt + σdB——被拉回 μ 的力量与偏离成正比。它给出的两个可交易数字：

半衰期 = ln(2)/θ：偏离收敛一半所需的期望时间。θ 的估计来自对 Δxₜ = α + β·xₜ₋₁ + εₜ 的回归（β = −θ·dt）。半衰期决定你的持有周期与止损宽度：半衰期 10 天的价差，用日内频率去交易是浪费，用月频去持有是迟钝；
回复力度 vs 噪声：θ 大而 σ 小的价差才值得做——统计上就是 Hurst 指数 < 0.5 或方差比检验显著小于 1。

协整解决「什么才是真锚」的问题：两个各自非平稳（单位根）的价格序列 I(1)，若存在线性组合 spread = y − βx 是平稳的（I(0)），则称 y 与 x 协整——它们被一个长期均衡关系绑定（如同行业的两家公司共享的需求与技术冲击），短期偏离会回归。

检验与建仓的标准流程（Engle-Granger 两步法）：

对 y 与 x 各做 ADF 检验，确认都是 I(1)（见平稳性与单位根）；
OLS 回归 y = α + βx，对残差（即 spread）做 ADF 检验：拒绝单位根 → 协整成立；
以 spread 的滚动均值 ±k·标准差作为开仓/平仓阈值，β 就是两只股票的对冲比例（1 股 y 对 β 股 x）。

协整的死亡方式比数学更值得记：均衡关系本身会断裂——重组、政策、商业模式分化会让 β 失效甚至关系消失（原油-成品油价差在出口政策变化时的崩溃）。所以实盘配对必须配协整状态监控（滚动 ADF、β 稳定性、半衰期漂移），价差「回归失败」到第 N 天无条件认错（纪律模板见统计套利与事后风控）。

关联阅读：蒙特卡洛模拟把 GBM 变成可计算的路径；GARCH 之外基于已实现波动率的路线见风险度量；配对交易实操是本篇的工程完整版。

蒙特卡洛模拟：用随机数回答解析解给不出的问题

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

蒙特卡洛的哲学极端简单：不知道答案，就把它演一万遍，用频率当概率。它不追求解析优雅，而是用算力换洞察——在期权定价、风险估计、回测稳健性检验三个领域，它都是「解析解不存在或不信任」时的标准答案。

用法一：期权定价与路径依赖产品

欧式期权有 Black-Scholes 解析解，但为什么还要模拟？因为现实中大量产品没有解析解：美式期权（最优行权时机）、亚式期权（均价）、障碍期权（敲入敲出）、以及含复杂条款的结构化产品。蒙特卡洛的流程（20 行 Python 的完整定价器）：

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import numpy as np

def mc_european_call(S0=100, r=0.03, sigma=0.25, T=1.0, K=105, n=200_000, seed=42):
 rng = np.random.default_rng(seed)
 z = rng.standard_normal(n)
 ST = S0 * np.exp((r - sigma**2/2) * T + sigma * np.sqrt(T) * z) # GBM 精确离散
 payoff = np.maximum(ST - K, 0.0)
 price = np.exp(-r * T) * payoff.mean()
 se = np.exp(-r * T) * payoff.std() / np.sqrt(n) # 标准误
 return price, se

# 输出 ≈ (8.93, 0.035)，与 BS 公式解析值差 < 0.01 —— 种子固定可复现

相关资产的组合期权（如一篮子期权）：用 Cholesky 分解 L·z 一步生成具有目标相关结构的随机向量（见线性代数）——这是「相关性与波动率同时驱动」的奇异期权唯一现实可行的定价路径。

用法二：回测绩效的置信区间

一个回测给出的年化 18% 只是一条历史路径的实现值。如果 2018 年不是那样走呢？两种反事实模拟：

Bootstrap（重抽样）：把回测期 2520 个日收益「洗牌重抽」生成 10000 条合成净值曲线，观察年化收益与最大回撤的分布：

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def bootstrap_equity(daily_ret, n_paths=10_000, block=20, seed=7):
 """分块 bootstrap：按 20 日整块抽取，保留自相关与波动聚集"""
 rng = np.random.default_rng(seed)
 n = len(daily_ret)
 n_blocks = int(np.ceil(n / block))
 out = np.empty((n_paths, n))
 for i in range(n_paths):
 idx = rng.integers(0, n - block + 1, n_blocks) # 块起点
 path = np.concatenate([daily_ret[j:j+block] for j in idx])[:n]
 out[i] = np.cumprod(1 + path)
 return out # 每行一条合成净值，取 MDD 分布/年化分布做分位数

判读口径：若年化的 5% 分位仍是 +6%、MDD 的 95% 分位 -22% 也能承受，策略才算「稳健地通过」——分位数字比点估计诚实一个量级；

参数不确定性：μ 与 Σ 的估计误差传导到组合收益有多大？在估计量的抽样分布上重抽参数、重跑组合，得到「参数误差带」。

这直接回应多重检验的老问题：在 10000 次重抽里，你的策略有多少比例仍为正期望？ 比例低于 90% 的策略，请谨慎对待它的点估计。

用法三：风险与破产概率

给定 μ、Σ 模拟组合路径（或用 GARCH 模拟波动路径），回答长尾问题：

破产概率：凯利仓位下 10 年内净值回撤超过 50% 的概率（见仓位 sizing ）；
压力情景生成：不满足于历史情景，可以「放大相关系数至 0.9 + 波动率 ×2」构造假想危机，检验限额体系（见压力测试）；
VaR/ES 的模拟法：历史模拟样本不足时（如需要 99.9% 分位），参数化蒙特卡洛给出平滑尾部估计（见风险度量）。

用法四：因子与策略的统计检验

置换检验（permutation test）：把因子标签随机打乱 1000 次重新回测，得到「随机因子」的绩效分布——你的真因子夏普 1.2，若随机因子也能到 1.1，那 0.1 的差距就是噪声。这是对抗 p-hacking 的重型武器（与实验设计的改动评估同源）。

工程要点：精度、种子与方差缩减

1/√N 定律：模拟精度（标准误）只随路径数的平方根改善——精度翻 10 倍，算力 ×100。所以先问「这个决策需要多精确」：上面的定价器 n=20 万时标准误 0.035 元；要 0.0035 元的精度需要 2000 万条路径。判订单点价格到 2 位小数可能要百万路径，判断「夏普是否 >1」几千次就够；
随机数种子必须写进代码：种子固定的模拟才可复现——回测复现纪律的一部分（见研究复现）；
方差缩减：对偶变量（每条路径配一条取反路径，z 与 −z 成对平均）在本例可把标准误差降低 20%–40%；控制变量（用已知解析解的量做锚）同样有效——期权台的日常工具；
离散化偏差：GBM 有精确离散解（上例用的正是精确式），但含随机波动率/跳的模型只能近似离散化——步长要测试收敛性，否则期权价格自带系统性偏差。

关联阅读：概率论基础是蒙特卡洛的概率根基；衍生品讲解析定价与模拟定价的分工；样本内外验证把 bootstrap 变成策略选择纪律。

实验设计与 A/B 测试（量化研究版）

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

互联网行业的 A/B 测试是黄金标准：把用户随机分成两组，同时跑新旧版本，比较转化率。量化研究者的处境要尴尬得多——市场不允许我们平行实验：2024 年 5 月只有一个，策略新版本跑在 5 月、旧版本也跑在 5 月，得到的却是同一段行情。本篇讨论在「样本不可复制、环境不可控制」的约束下，如何科学地评估一次策略改动。

为什么教科书 A/B 在金融里失灵

三个结构性差异：

没有平行宇宙。无法同时观察「有这个因子」和「没有这个因子」的两种市场——因果推断最干净的工具直接缺席；
环境漂移比用户行为快。A/B 假设两组环境一致，而市场 regime 数周就切换：新旧版本先后各跑三个月，绩效差异可能 80% 来自行情差异而非改动本身；
一次实现，样本极小。日频策略一年只有 252 个观测，且彼此不独立（波动聚集、自相关），有效样本量远小于名义值。

所以量化的「实验」必须绕道：用历史数据构造反事实，用统计检验处理单路径问题。

改动评估的正确流程

第一步：明确假设与「最不许动的部分」

改动前写下：改什么（如「止损从 5% 收紧到 3%」）、预期机制（「截断左尾，代价是被洗出频率上升」）、主要评价指标（夏普？MDD？换手？）、以及不许动的控制变量（回测区间、成本模型、其余参数冻结）。没有预先注册的假设，事后解释自由度无限大——这是 p-hacking 的温床（见避免 p-hacking ）。

第二步：历史配对比较，而非「重跑一次回测」

新旧版本在同一段历史上运行，逐日（或逐笔）配对收益差 Δrₜ = rₜ(新) − rₜ(旧)。检验 H₀: mean(Δr) = 0 用配对 t 检验，并用 Newey-West 修正自相关下的标准误——因为 Δrₜ 几乎必然自相关。同时报告 Δr 的分布而非只有均值：收紧止损这类改动常常「大多数日子略差 + 少数灾难日大幅更好」，只看均值会误杀。

第三步：置换检验，绕开正态假设

Δr 的分布歪斜且有厚尾，t 检验的前提可疑时用置换检验：随机翻转 10000 次 Δrₜ 的正负号，构造「改动纯随机」下的均值分布，看真实均值落在分布的哪个分位。落在 95% 分位之外，才承认改动有真实效果。它对小样本、厚尾都稳健，是量化改动评估的默认推荐。

第四步：多维评价与稳健性

改动几乎总在「用一类风险换另一类」，评估矩阵至少包含：夏普、最大回撤、回撤持续时间、换手与成本、容量影响、分年度稳定性（是不是只有 2015 年牛市里更好）、以及参数邻域敏感性。任何单一指标的显著改善都不构成上线理由。

模拟盘与实盘的「准实验」

历史检验通过后，进入前向验证——这是量化里最接近真 A/B 的部分：

模拟盘并行期：新版本在模拟环境跑实盘信号（不真实成交），与在跑版本同环境对照 4–8 周。虽然环境仍相同、无平行分组，但前向数据没有经过你的研究过程，能杀掉大部分历史过拟合（见仿真盘）；
资金灰度：用 10% 资金跑新版本，观察「实盘 vs 模拟」与「实盘 vs 旧版本」两条差异序列，达标后逐步放量（10% → 30% → 100%）。灰度期同时是执行成本的实测（见灰度与放量）；
执行算法的 A/B：同一调仓日的订单流一半走 VWAP、一半走 TWAP，比较实现差额（implementation shortfall）——这是量化里少数能真·随机分组的场景（见执行算法）。

常见的伪实验设计

伪实验	问题	正确做法
新版本只回测近 3 年，旧版本历史全期	区间不一致，差异混入行情效应	同区间配对比较
改 5 个参数后绩效提升	无法归因给谁	单变量改动，或做正交设计
挑「表现最好」的 6 个月展示	选择性汇报	全区间 + 分年度
模拟盘跑 5 天就下结论	噪声主导（t ≈ 0.3）	预先注册的最小样本量（如 20 个交易日）
「这次改动很小，直接上实盘」	小改动也有不可预期交互	一切改动走同一流程

关联阅读：统计推断提供本篇用到的全部检验工具；蒙特卡洛的置换与 bootstrap 是反事实构造的机器；策略上线流程把实验结论变成生产变更。